با حل معادله شرودینگر برای پتانسیلهای میدان میانگین، بدون در نظر گرفتن جفتشدگی نوکلئونها، ترازهای انرژی و معادله موج نوکلئونی بدست میآید. ترازهای انرژی تک-نوکلئونی نوترونی و پروتونی بعنوان یک پارامتر اساسی در تعیین پارامترهای ترمودینامیکی هسته از قبیل دما، آنتروپی، فشار و ظرفیت گرمایی نقش ایفا میکنند. چگالی تراز هستهای بصورت تعداد ترازهای هسته در واحد انرژی برانگیختگی مؤثر تعریف میشود.
در فصل دوم این پژوهش، به بررسی چگالی تراز تک ذرهای و روشهای مختلفی که در بررسی چگالی تراز تک ذرهای دارای اهمیت اند پرداخته ایم. در فصل سوم چگالی تراز هستهای و مدلهایی که در آنها پارامترهای چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشوند معرفی شدهاند و همچنین شیوههای برازش و اثرات تجمعی نیز ارائه شدهاند. در نهایت در فصل چهارم پارامتر چگالی تراز در مدل BSFGM بصورت تابعی از چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از مدل نیمه کلاسیکی برای پتانسیلهای نوسانگر هماهنگ، چاه پتانسیل مربعی و پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، متوسط و سنگین محاسبه شده اند و نتایج بدست آمده با نتایج سایر روشها مقایسه شده است.
فصل دومچگالی تراز تک ذرهای
چگالی تراز تک ذرهاییکی از اجزا مهم در بررسی ساختار هسته و برهمکنشهای هستهای چگالی تراز تک ذرهای، g میباشد که به میدان متوسط هستهها وابسته شده است. از چگالی تراز تک ذرهای در محاسبه چگالی تراز هستهای ρ که برای توصیف برهمکنشهای هستهای و خصوصیات ترمودینامیکی آن مورد نیاز است، استفاده میشود. در روش محاسبه پارامتر چگالی تراز با استفاده از مدل لایهای، g چگالی تراز تک ذرهای، نقش تعیین کنندهای دارد. بطور خاص چگالی تراز تک ذرهای که با روش تصحیح لایهای تعریف شده است، یکی از عناصر اصلی در محاسبه انرژیهای حالت پایه و تغییر شکل هستههای سرد میباشد.
برای بررسی کمیتهای بالا دانستن چگالی تراز تک ذرهای در بازه بزرگی از انرژی E که شامل نواحی پیوسته و مقید است، مورد نیاز است. برای توصیف خواص هسته، محاسبه چگالی تراز در نواحی پیوسته بسیار اهمیت دارد و بطور خاص برای هستههای برانگیخته این اهمیت بیشتر هم میشود.
در مرجع [13] چگالی تراز تک ذرهای جزیی glE و چگالی تراز تک ذرهای کل gE معرفی شدهاند که چگالی تراز تک ذرهای کل بصورت جمع روی glE چگالی تراز تک ذرهای در نواحی lmax≤40 میباشد، که این بازه به چاههای پتانسیل متناهی مربوط میشود. در محاسبه چگالی تراز تک ذرهای از روشهای مختلفی استفاده شده است که از آن جمله روش جابجایی فاز، روش اسموث، روش تابع گرین و روش نیمه کلاسیکی را میتوان نام برد که در ادامه به تفصیل معرفی میشوند.
با در نظر گرفتن یک ذره مانند نوکلئون که در یک پتانسیل کروی تک ذرهای (میدان متوسط) درحال حرکت است هامیلتونی، H چنین ذرهای به شکل زیر تعریف می شود
(2-1) H=P22m+Vrچگالی تراز تک ذرهای متناظر با آن با رابطه زیر معرفی می شود
(2-2) gE=TrδE-Hکه در آن Vr پتانسیل میدان متوسط هستهای و m جرم نوکلئون میباشد. برای یک چاه پتانسیل نامتناهی، مقادیرویژه انرژی حالت مقید Hو چگالی تراز تک ذرهای gE بصورت زیر معرفی می شود
(2-3) gE=iδE-Eiکه در آن Eiها ویژه توابع انرژی میباشند که با استفاده از رابطه زیر حاصل میشوند
(2-4) Hψi=Eiψi.
در بررسی چگالی تراز تک ذرهای طیف مربوط به تک ذره به دو ناحیه تقسیم میشود، حالتهای مقید در E≤0 و حالتهای پیوسته E>0 که مقید نیستند و بیشتر تمرکز روی نواحی پیوسته است. اگر سیستمی را بصورت یک ذره در جعبه کروی نامتناهی با شعاع R بزرگتر از بازهی Vr در نظر بگیریم که رابطه (2-1) توصیف کننده آن است، بایستی پیوستگی را از آن مجزا کنیم. چگالی تراز تک ذرهای که با استفاده از معادلات (2-3) و (2-4) تعریف شده است به R وابسته است و برای E>0 چگالی تراز تکذرهای با افزایش R افزایش مییابد. این رابطه به سهم به اصطلاح چگالی تراز تک ذرهای گاز آزاد gFE در چگالی تراز تک ذرهای gE بستگی دارد که با استفاده از هامیلتونی ذره آزاد H0 محاسبه میشود، این هامیلتونی با رابطه زیر تعریف میشود
(2-5) H0=P22m.
در نتیجه چگالی تراز تک ذرهای که به چاه پتانسیل متناهی Vr وابسته است بصورت زیر معرفی میشود
(2-6) gE=limR→∞gvE-gfEکه در آن gv با استفاده از هامیلتونی H و gf با استفاده از هامیلتونی H0 محاسبه می شوند. با درنظرگرفتن اندازه حرکت زاویهای، چگالی تراز تک ذرهای بصورت رابطه زیر تعریف میشود
(2-7) gE=limR→∞l=0lmaxglEکه در آن glE شامل 22l+1 فاکتور است که تبهگنی را نشان میدهد و به اسپین و پتانسیل کروی مربوط میشود[14].
2-1 روش جابجایی فازروش جابجایی فاز یکی از روشهایی است که در بررسی چگالی تراز تک ذرهای بسیار مورد استفاده قرار میگیرد. در این روش چگالی تراز تک ذرهای glE به صورت حاصل جمع دو بخش تعریف میشود
(2-8) glE=gBlE+gClEکه در آن gBlE سهم مربوط به حالتهای مقید میباشد که از هامیلتونی H با ویژه انرژیهای Enl حاصل میشود. و با رابطه زیر تعریف میشود
(2-9) gBlE=Enl≤022l+1δE-Enl.
برای توصیف سهم مربوط به حالتهای پیوسته gClE، سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاعR در نظر گرفته میشود که در آن جوابهای منظم ψl هامیلتونی H برای E>0 در حالتهای مقید ψl0=0 میباشد و برای دیگر حالات رابطه زیر معرفی شده است
(2-10) ψlrr→∞→const1rsinkr-12lπ+δlEکه در آن k=2mEħ2 عدد موج است و δlE جابجایی فاز میباشد. در این رابطه Vr یک پتانسیل در بازهی محدود فرض شده است که در بینهایت سریعتر از 1r میرا میشود. ویژه حالتهای با E>0 با استفاده از حالتهایی که درآن ψlR=0 است، بدست آمدهاند که به رابطه زیر منجر میشود
(2-11) kR-12lπ+δlE=sπدر رابطه (2-11) s عدد صحیح است. در نتیجه چگالی تراز کل از رابطه زیر بدست میآیند
(2-12) gCltotE=22l+1dsdE=1π22l+1dδlEdE+22l+1πRdkdEجمله دوم در معادله بالا که با R متناسب است مربوط به سهم گاز آزاد ناشی از هامیلتونی H0 است که با استفاده از یک جمله کروی با شعاع Rبدست آمده است. با کم کردن بخش مربوط به گاز آزاد رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذرهای بدست می آید
(2-13) gClE=1π22l+1dδldE.
با توجه به اینکه چگالی تراز تک ذرهای که با معادلات (2-4)،(2-5)و(2-9) معرفی میشود مستقل از Rاست و ψlR ارائه شده برای rهای بزرگتر از بازه پتانسیل معرفی شده است، بنابراین جابجایی فاز به درستی تعریف شده است.
همانطور که مشاهده میشود رابطه (2-9) با تغییراتی در سهم مربوط به حالتهای مقید رابطه (2-5) درمورد حالتهایی با عمر طولانی با ГR→0 حاصل شده است که در آن ГRپهنای تشدید برای حالتهای متناظر با انرژی ER است.
برای جابجایی فاز δE در نواحی نزدیک انرژی ER رابطه زیر را داریم
(2-14) δE≈δ0+arctanГR2ER-Eکه در آن δ0 یک مقدار ثابت است و در ГR→0 ازرابطه زیر بدست می آید
(2-15) .dδdE=ГR2ER-E2+ГR22≈πδE-ERیک رابطه بسیار کاربردی بین جابجایی فاز در انرژی صفر δl0و تعداد حالات مقید NL بصورت
(2-16) δl0-δl∞=Nlπمی باشد که درآن Nl تعداد حالتهای مقید برای معادله شرودینگر کاهش یافته شعاعی به ازای رابطه ulr=rψlr میباشد[15]
(2-17) d2uldr2-ll+1r2+2mħ2Vr-k2ul=02-2 روش تابع گریندر بررسی چگالی تراز تک ذرهای روش تابع گرین نیز یکی از روشهای پرکاربرد میباشد. در این روش برای بررسی glE سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاع R بطوریکه در آن پیوستگی مجزا شده است، در نظر گرفته میشود. بنابراین تابع گرین تکذرهای که به هامیلتونی Hوابسته است توسط رابطه زیر معرفی میشود
(2-18) H-EGr,r,E=δr-rکه تابع گرین با نمایشی بصورت زیر معرفی میگردد
(2-19) Gr,r,E=nφn*rφnrEn-Eدر این رابطه φnها حالتهای تک ذرهای مقید متناظر با ویژه انرژیهای En میباشند. همچنین تعریف مشابهی برای G0r,r,Eبصورت وابسته به هامیلتونی H0 ارائه میشود. با در نظر گرفتن بخش موهومی Gr,r,Eو G0r,r,E و جداکردن اجزا زاویهای آنها، چگالی تراز تک ذرهای باتوجه به معادله (2-4) از رابطه زیر بدست میآید
(2-20) glE=limα→0,R→∞22+11π0RdrImGlr,r,E+iα-ImG0lr,r,E+iαr=rتوابع گرین Glr,r,Eو G0lr,r,E معرفی شده در معادله بالا بصورت زیر تعریف میشوند
(2-21) Glr,r,E=-2mћ2ulr<vlr>Wدر این رابطه r<و r> به ترتیب دارای مقادیر کوچکتر و بزرگتر از r و rمیباشند. توابع ul و vl به ترتیب جوابهای منظم و نامنظم برای معادله شعاعی (2-17) میباشند که به هامیلتونی H وابستهاند و W مساوی 4πR است.
تابع گرین تک ذرهای برای ذرات آزاد بدون اسپین در حالت خاص پتانسیل Vr=0 بصورت رابطه زیر بدست میآید
(2-22) G0r,r,E=-2mħ2expikR4πRکه در آن R=r-r است.
در نتیجه با توجه به معادلات (2-22) و (2-24) چگالی تراز تک ذرهای برای ذره آزاد بصورت زیر تعریف میشود[16]
(2-23) g0E=14π22mћ232E.
2-3 روش هموارنتایج حاصل از تصحیح لایهای روش استروتینسکای، در مدل لایهای که به اصطلاح روش میکروسکوپیک-ماکروسکوپیک نامیده میشود، موجب شد که اصلاحاتی را در پیشبینی جرم هستهها و محاسبات مربوط به هسته های شکافت پذیر بتوان اعمال کرد. این مدل شامل ترکیبی از مدلهای قطره مایع و تصحیح لایهای است، در مدل قطره مایع انرژی E به آرامی با تعداد نوکلئونها N و Z تغییر میکند در صورتیکه در تصحیح لایهای این تغییرات به تندی صورت میگیرد.
در این روش gME به صورت یک تقریب چند جملهای از درجه M برای چگالی تراز واقعی درنظر گرفته شده است.
این تقریب در حوالی نقطه λ (که تراز فرمی واقعی را بیان میکند) در یک بازهی موثر –γ+λ , γ+λ با استفاده از تابع گوسی e-E-λ2γ2 بکار گرفته میشود. به همین دلیل چند جملهای ذکر شده علاوه بر M به λ و γ نیز مرتبط است. بهترین تقریب برای این مدل چند جملهایهای خطی هرمیت میباشند که به صورت Hk در محاسبات وارد میشود.
در نتیجه برای چگالی تراز تک ذرهای متوسط در این روش رابطه زیر تعریف میشود
(2-24) gM,γE,λ=k=0MckHkE-λγبنابراین بایستی gM,γE,λ بر حسب چند جمله ای طوری معرفی شود که انتگرال زیر را کمینه سازد
(2-25) Iλ,M,γ=-∞∞g0E-gM,γE,λ2exp-E-λγ2dEدر مرجع [20] این کمینه سازی از طریق برازش مجذور مربعی انجام شده است. این روش را که در فصل بعدی به تفصیل توصیف خواهیم نمود، براساس کمینه سازی روابط بالا نسبت به ck با استفاده از خاصیت اورتوگنالیتی چند جملهایهای هرمیت انجام میگیرد.
(2-26) gM,γE,λ=m=0McmHmE-λγcmλ,γ=1m!2mπn=0∞Hmun1γexp-un2 un=En-λγ در معادله (2-26) λ به صورت ثابت فرض میشود و چند جملهای gM,γE,λ تنها در نواحی E~λ مقدار چگالی تراز واقعی را ارضاء میکند. بنابراین برای رفع این مشکل لازم است λ به صورت یک متغیر درنظر گرفته شود.
از آنجا که ثابت cm در معادله (2-26) به λ وابسته است و کمییت gM,γE,λ تنها یک چند جملهای از λ نیست، واضح است که چگالی تراز در روش استروتینسکای یک چند جملهای واقعی نیست. در نتیجه با اعمال اصلاحات و جایگزینی λ با E روابط زیر برای این روش بدست میآید
(2-27) gM,γλ=n=0∞FMUn, un=En-λγ,FMx=PMx1γexp-x2, PMx=m=0MAmHmx, Am=Hm0m!2mπکه در آن چند جملهای PM ترم تصحیح انحنا میباشد و برای چگالی تراز تک ذرهای در روش هموار رابطه زیر معرفی شده است
(2-28) gM,γE,λ=-∞∞g0EFME-λγdEواضح است که وقتی M به بینهایت افزایش یابد و یا γ به سمت صفر میل کند، gM,γE,λ نیز به سمت g0E میرود. این روش اگر چه خیلی مناسب است ولی ضعفهایی هم دارد از جمله اینکه به نتایج حاصل از دو پارامتر γ پهنا و M مرتبه وابسته است و با پیوستگی در پتانسیلهای واقعی مشکل دارد[17].
2-4 روش نیمه کلاسیکی
یک سیستم N فرمیونی بدون برهمکنش در نظر بگیرید که در دمای صفر قرار دارد بطوریکه فرمیونها در یک پتانسیل تک جسمی معین درحال حرکت باشند. برای توصیف بخش هموار انرژی از تابع پارش به صورت زیر استفاده میشود
(2-29) Zβ=Trexp-βHسادهترین راه برای اعمال اثرات لایهای جایگزین کردن تابع پارش کلاسیکی به جای تابع پارش معرفی شده دررابطه (2-29) میباشد که در آن H هامیلتونی موجود در رابطه نیز با هامیلتونی کلاسیکی جایگزین میگردد. این جابجایی به رابطه نیمه کلاسیکی منجر میشود که به رابطه توماس- فرمی نیز معروف است.
در روش نیمه کلاسیکی از یک روش بسطی برای تابع پارش باتوجه به نمای ℏ ثابت پلانک استفاده میشود که درآن جمله اول بسط به تابع پارش کلاسیکی مربوط میشود، جزئیات این روش را در مراجع [18,22] میتوان یافت. در این روش تا نمای چهارم ℏ در بسط استفاده میشود. در نهایت با استفاده از بسط نیمه کلاسیکی برای تابع پارش رابطه زیر بدست میآید
(2-30) Z4β=β-324π322mħ232dr exp-βV1-β2ħ224m∇2V+β31440ħ22m2-7∇4V+5β∇2V2+β∇2∇V2 .
چگالی تراز تک ذرهای نیمه کلاسیکی بطور مستقیم از تابع پارش نیمه کلاسیکی با استفاده از لاپلاس معکوس محاسبه میشود
(2-31) g=ГE-1Z4βدر نهایت رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذرهای در روش نیمه کلاسیکی حاصل می شود[18](2-32) gE=12π22mћ232drE-VrθE-Vrکه در آن θE تابع پلهای میباشد. برای توجیه خواص هستهای از طریق مدل لایهای ابتدا باید یک پتانسیل هستهای تعریف کنیم که با این مدل مطابقت داشته باشد و بتواند ترازهای انرژی و لایهها را بطور دقیق مشخص کند. یکی از پتانسیلهای هستهای ابتدایی و متناسب با مدل لایهای پتانسیل چاه مربعی متناهی است که بصورت زیر تعریف میشود[23]
(2-33) VSQr=-V0 r<R0 r>R.
از آنجا که با صرف انرژی متناهی یک نوکلئون را از هسته میتوان خارج کرد، بنابراین پتانسیل چاه مربعی باید دارای عمق متناهی باشد که در رابطه بالا V0نشاندهنده عمق چاه میباشد که در مراجع مختلف روابط مختلفی برای آن ارائه شده است و رابطهای که در این مطالعه از آن استفاده شده بصورت زیر تعریف میشود
(2-34) V0=47±33N-ZAکه درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است.
با جایگذاری پتانسیل رابطه (2-33) و (2-34) در رابطه (2-32) چگالی تراز تک ذرهای مربوط به چاه مربعی متناهی بصورت زیر بدست میآید
(2-35) gE=12π22mħ2324πR033E-V0θE-V0در شکل (2-1) برای هسته 56Fe چگالی تراز تک ذرهای مربوط به روش نیمه کلاسیکی (روش توماس فرمی) برای چاه پتانسیل متناهی در بازه انرژی رسم شده است

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 1) نمودار چگالی تراز تک ذرهای نوترونی با استفاده از روش نیمه کلاسیکی برای چاه پتانسل مربعی برحسب انرژی [16]همانطور که از شکل (2-1) مشخص است در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی چگالی تراز تکذرهای نیز افزایش مییابد در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد و اثرات پیوستگی روی چگالی تراز تک ذرهای به خوبی در مدل نیمه کلاسیکی نمایش داده شده است.
اشکال عمده چاه مربعی در این است که دارای لبه تیز است در حالی که پتانسیل هستهای فاقد لبه تیز بوده و به تدریج صفر میشود. پتانسیل نوسانگر هماهنگ نیز بصورت زیر تعریف میشود
(2-36) VHOr=12mω2r2-VOکه در این رابطه V0عمق چاه و ω فرکانس نوسان است. و شکل این پتانسیل بصورت (2-2) میباشد.

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 2) نمودار پتانسیل نوسانگر هماهنگ[24]با جایگذاری رابطه (2-36) در معادله (2-32) چگالی تراز تک ذرهای مربوط به پتانسیل نوسانگر هماهنگ بصورت زیر بدست میآید
(2-37) gHOE=E-V02ħω31-1-2πarcsinV0E-V0+43πV0E-V032EE-V0+2πV0E-V0EE-V0θE
این درحالی است که پتانسیل نوسانگر هماهنگ نسبت به چاه مربعی به آرامی تغییر میکند و دارای لبه کاملاً تیز نمیباشد بطوریکه انرژی جداسازی در آن بینهایت میشود. از سوی دیگر در یک هسته فاصله بین ترازها یکسان نیست درحالی که در نوسانگر هماهنگ فاصله بین ترازها یکسان است ولی در چاه مربعی این طور نیست.
باتوجه به نکات ذکر شده پتانسیل ابتدایی دیگری بصورت شکل(2-3) برای هسته معرفی شده است که یک چاه پتانسیل مربعی بالبه گرد شده است و به آن پتانسیل وودز-ساکسون گفته میشود، که به پتانسیل بینابینی نیز معروف است این پتانسیل براساس شکل چگالی ماده هستهای برحسب فاصله از مرکز هسته ارائه شده و با رابطه زیر معرفی میشود
(2-38) VWSr=-Vo1+expr-Raکه در آن R شعاع هسته و a پارامتر ضخامت سطح میباشند و V0عمق چاه است که بصورت زیر تعریف می شود
(2-39) V0=51±33N-ZAکه درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است. پتانسیل وودز-ساکسون در شکل (2-3) رسم شده است.

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 3) نمودار پتانسیل وودز-ساکسون بصورت تابعی از فاصله از مرکز هسته[24]در محاسبه چگالی تراز تک ذرهای با روش نیمه کلاسیکی برای پتانسیل وودز-ساکسون جمله مربوط به برهمکنش اسپین مدار درنظر گرفته نشده است و همانطور که از معادله (2-32) مشخص است در روش نیمه کلاسیکی با استفاده از پتانسیلهای میدان متوسط هسته، چگالی تراز تک ذرهای بصورت تابعی از انرژی تک نوکلئونها تعیین میشود.
برای هسته 56Fe نمودار چگالی تراز برحسب انرژی با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون در روشهای نیمه کلاسیکی و روش هموار در شکل (2-4) رسم شده است.

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 4) نمودار چگالی تراز تک ذرهای نوترونی برحسب انرژی برای پتانسیل وودز-ساکسون خطوط نقطه چین مربوط به روش نیمه کلاسیکی و دیگری روش هموار [16]همانطور که از شکل (2-4) نیز مشخص است برای هر دو مدل روند تغییرات بر حسب انرژی مشابه یکدیگر است یعنی در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی، چگالی تراز تک ذرهای نیز افزایش مییابد، در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی، چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد.
چاه پتانسیل برای پروتونها و نوترونها متفاوت است، البته ترتیب ترازهای انرژی مربوط به آنها تا تراز نوکلئونی 50 یکسان است بعد از این تراز است که تفاوت آشکار میشود. چون برای این اعداد نوکلئونی نیروی دافعه کولنی بین پروتونها زیاد شده و با نیروی هستهای مقابله میکند.
بنابراین برای برانگیختگی پروتونها علاوه بر پتانسیلهای هستهای پتانسیل کولنی VCr نیز بایستی اعمال شود که بصورت زیر تعریف میشود
(2-40) VCr=Ze22R3-r2R2 r<RZe2r r>R.
با توجه به اینکه پتانسیل کولنی بر خلاف پتانسیلهای هستهای دارای مقادیر مثبت میباشد در نتیجه با اعمال این پتانسیل در محاسبات مقادیر چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد.
از چگالی تراز تک ذرهای در محاسبه یکی از کمیتهای مهم NE تعداد حالتهای با انرژی کمتر از Eاستفاده می شود که رابطه بین آنها نیز بصورت زیر است
(2-41) NE=-∞EgE dE.
شکل (2-5) توصیف خوبی برای NE مر بوط به هسته 26Al ارائه میدهد. در این شکل خطوط پر رنگ به محاسبات تئوری انجام شده مربوط میشود و خطوط نازک مربوط به مقادیر تجربی است که از آزمایشات بدست آمده است.

شکل (2- SEQ شکل_2- \* ARABIC 5) نمودار تعداد حالتهای با انرژی کمتر از E بر حسب انرژی[25]چگالی تراز هستهای نیز با استفاده از چگالی تراز تک ذرهای قابل محاسبه است که در فصل بعد به آن خواهیم پرداخت. در این پژوهش در فصل چهارم به بررسی چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از مدل نیمه کلاسیکی و با اعمال پتانسیلهای نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساکسون میپردازیم. همچنین مقایسهای بین نتایج حاصل ارائه خواهد شد.
فصل سومچگالی تراز هستهای
3-1 چگالی تراز هستهای و پارامترهای وابسته به آنبا افزایش انرژی برانگیختگی فاصله بین ترازها کاهش مییابد و ماهیت برانگیختگیها بسیار پیچیدهتر میشود. بطور کلی چگالی تراز هستهای بصورت تعداد ترازهای هسته در واحد انرژی برانگیختگی مؤثر بصورت زیرتعریف میشود[26]
(3-1) ρU=dNUdU
که در آن NU تعداد کل ترازها با انرژی کمتراز انرژی برانگیختگی U در یک هسته میباشد. بطور کلی چگالی ترازهسته وابسته به انرژی برانگیختگی U ، اسپین J و پاریته π بصورت زیر است
(3-2) ρU,J,π=PU,J,πfU,JρUکه در آن تابع ρU,J,π وابستگی چگالی تراز به پاریته، اسپین و انرژی برانگیختگی را نشان میدهد که با در نظرگرفتن توزیع یکسان برای پاریته مثبت و منفی بجای آن از مقدار 12 استفاده میشود. fU,J سهم توزیع اسپینی گاز فرمی است که با رابطه زیر تعریف شده است
(3-3) fU,J=2J+12σ2exp-J+1222σ2و σ2 موجود در این رابطه پارامتر قطع اسپین است که پهنای توزیع اندازه حرکت زاویهای گوسی را بیان میکند که در بخشهای بعدی بطور کاملتری توصیف خواهد شد.
در مطالعات اولیه روی چگالی تراز هستهای، a پارامتر چگالی تراز بصورت مستقل از انرژی در نظر گرفته میشد. سپس یک فرمول وابسته به انرژی با استفاده از جمله تصحیح میکروسکوپی فرمول جرم بصورت رابطه زیر تعریف شد
(3-4) a=aEx=a1+SZ,N1-exp-γUUکه در آن γ پارامتر میرایی است که نشان میدهد پارامتر چگال تراز چگونه به مقدار حدی خود a میرسد و بصورت رابطه وابسته به عدد جرمی معرفی شده است
(3-5) γ=γ1A13با استفاده از روابط (3-4) و (3-5) پارامتر چگالی تراز بصورت رابطه وابسته به انرژی زیر بدست می آید
(3-6) aEX=a1+SZ,N1-exp-γ1A13EX-UEX-Uکه در آن پارامتر SZ,N تصحیح لایهای است که بصورت اختلاف بین جرم آزمایشگاهی Mexp هستهها و جرمی که از مدل جرم قطره مایع کروی MLDM بدست میآید، تعریف میشود.
(3-7) SZ,N=Mexp-MLDMبرای محاسبه MLDM از روابط زیر استفاده شده است[27]
(3-8) MLDM=MnN+MHZ+Evol+Esur+Ecoul+δMn=8.07144 MeV, MH=7.28899 MeVEvol=-c1A, Esur=c2A23, Ecoul=c3Z2A13-c3Z2Aوci=ai1-kN-ZA2, i=1,2,a1=15.677 MeV, a2=18.56 MeV,k=1.79, c3=0.717 MeV, c4=1.21129 MeV,δ=-11A even-even,=0 odd, =11A odd-odd و تغییرات تصحیحات لایهای بر حسب عدد جرمی برای هستههای مختلف به صورت شکل (3-1) ارائه میشود[26]

شکل (3- SEQ شکل_3- \* ARABIC 1) تصحیح لایهای برحسب عدد جرمی برای هستههای مختلف[26]در مرجع[28] برای پارامتر چگالی تراز رابطه برازش شده زیر معرفی میشود
(3-9) a=π26g=π24(AEF)لازم به توضیح است که در فصل چهارم نمودار مربوط به این رابطه ارائه خواهد شد.
یکی از روابطی که برای پارامتر چگالی تراز تعریف شده است رابطه وابسته به انرژی زیر است که به چگالی تراز تک ذرهای در انرژی فرمی که در فصل قبل معرفی شده بود، وابسته است[29]
(3-10) a=π26gpEFP+gnEFnو در واقع رابطه بالا همان مقدار حدی پارامتر چگالی تراز a است و این آخرین پارامتری که برای محاسبه پارامتر چگالی تراز مورد نیاز است.
مقدار حدی پارامتر چگالی تراز وقتی که تمامی آثار لایهای ناپدید شده باشند محاسبه میشود و بطور کلی رابطه زیر برای آن تعریف میشود
(3-11) a=aEX→∞یعنی وقتی SZ,N=0 در هر انرژی برانگیختگی مقدار حدی پارامتر چگالی تراز با مقدار پارامتر چگالی تراز یکسان میباشد. از روشهای مختلفی برای تعریف مقدار حدی پارامتر چگالی تراز استفاده شده است، یکی از آنها همان رابطه (3-9) است که به چگالی تراز تکذرهای وابسته است. همچنین رابطهای از طریق برازش ترازهای جدا از هم و یا فاصله تشدید بصورت زیر تعریف میشود که در بخشهای بعدی در مورد شیوههای برازش تفسیر کاملتری ارائه خواهد شد[30]
(3-12) a=αA+βA23.
روش سوم در محاسبه مقدار حدی پارامتر چگالی تراز رابطهای است که با استفاده از مدل قطره مایع بصورت زیر بدست میآید[33]
(3-13) a=avol1+kvolN-ZA2A+asur1+ksurN-ZA2A23+aCoulZ2A-13.
در این پژوهش از رابطه (3-6) برای مقدار حدی پارامتر چگالی تراز استفاده شده است. در فصل بعد به بررسی بیشتر این پارمتر میپردازیم.
پارامتر قطع اسپین σ2 پهنای توزیع اندازه حرکت زاویهای در چگالی تراز را بیان میکند که به انرژی برانگیختگی وابسته میباشد. این پارامتر که وابسته به اندازه لختی I0 و دمای ترمودینامیکی هسته t=Ua میباشد از رابطه زیر بدست میآید
(3-14) σ2=σ∥2=I0tکه در آن نماد σ∥2 پارامتر قطع اسپین موازی را نشان میدهد که از تصویر اندازه حرکت زاویهای حالتهای تک ذرهای روی محور تقارن حاصل میشود. اگرچه از مطالعات چگالی تراز میکروسکوپی مشاهده میشود که کمیت σ2t یک مقدار ثابت نیست، ولی اثرات لایهای مورد نظر را به خوبی نشان میدهد.
پارامتر قطع اسپین گاز فرمی نیز از رابطه زیر بدست میآید
(3-15) σ2=σ∥2=σF2EX=I0aat.
با توجه به رابطه (3-6) برای مقدار حدی پارامتر چگالی تراز و با اعمال دمای هسته و با در نظر گرفتن رابطه I0=25μAR2ℏC2 که در آن μ جرم نوکلئون و R شعاع هسته میباشد، پارامتر قطع اسپین گاز فرمی مساوی σF2EX=0.01389A53aaU بدست میآید، همچنین رابطه σ2=0.0888A23at نیز برای پارامتر قطع اسپین ارائه شده است[31-33].
برای این پارامتر روابط مختلف دیگری نیز ارائه شده است که یکی از پرکاربردترین آنها رابطه زیر میباشد
(3-16) σ2=m2gpEF+gnEFtکه در آنgpEF و gnEF به ترتیب چگالی تراز تک ذرهای پروتونی و نوترونی در انرژی فرمی میباشند و t دمای هسته و U انرژی برانگیختگی است و a پارامتر چگالی ترازمیباشد[34].
m2 میانگین متوسط مربعی اسپین تک ذرهای میباشد که در نواحی انرژی فرمی محاسبه میشود و برای آن در مراجع مختلف با توجه به روشهای برازشی که مورد استفاده قرار میگیرد مقادیر متفاوتی ارائه شده است. بطور مثال در مرجع [35] رابطه m2=0.146A23 برای آن معرفی شده است که به میانگین متوسط مربعی تصویر اندازه حرکت زویهای روی کل ترازهای پرشده در حالت پایه هستهها مربوط میشود.
پارامتر قطع اسپین بصورت تابعی از عدد جرمی درشکل (3-2) رسم شده است

شکل(3- SEQ شکل_3- \* ARABIC 2) پارامتر قطع اسپین برحسب عدد جرمی برای مقادیر جسم صلب [35].
همانطور که مشاهده میشود در هر سه روش بطور کلی روند تغییرات یکسان است و با افزایش عدد جرمی پارامتر قطع اسپین نیز افزایش مییابد به جز در برخی موارد که در نواحی لایههای بسته و هستههای جادویی میباشد. در فصل چهارم با استفاده از رابطه (3-16) مقادیر مربوط به این پارامتر در جدولی ارائه میشوند و نمودار تغییرات پارامتر قطع اسپین برحسب عدد جرمی، دما و انرژی برانگیختگی نیز رسم خواهد شد.
در بخشهای بعدی به معرفی برخی مدلها پرداخته خواهد شد که در این مدلها برای محاسبه چگالی تراز بطور مستقیم از روشهای آماری که به صورت تئوری ارائه میشوند استفاده میشود.
.
3-2 مدل گاز فرمی (FGM)مدل گاز فرمی (FGM) بهترین بیان تحلیلی برای شناخت چگالی تراز است و اساس این مدل بر این است که حالتهای تکذرهای که ترازهای برانگیخته هستهها تشکیل میدهند دارای فاصله یکسانی از هم میباشند. در این مدل هستهها بدون برهمکنش در نظر گرفته شده واز اثرات تجمعی صرفنظر میشود در نتیجه برای چگالی تراز رابطه زیر تعریف میشود
(3-17) ρU=exp2aU122σa14U54که در آن a پارامتر چگالی تراز است که با استفاده از چگالی تراز تکذرهای g و یا از طریق برازش دادههای آزمایشگاهی با این فرض که چگالی تراز تک ذرهای مقدار ثابتی است تعریف میشود که در بخش مربوط به پارامتر چگالی تراز روشهای محاسبه آن بطورکامل ارائه شد.
مدل گاز فرمی یک مدل وابسته به انرژی است و در ادامه به بررسی این مسئله با جزئیات بیشتر پرداخته میشود. همچنین این مدل شامل انرژی برانگیختگی مؤثر U نیز میباشد که از رابطه زیر بدست میآید
(3-18) U=EX-∆انرژی جابجایی ∆ یک پارامتر تجربی است که برابر و یا در برخی مدلها تقریبأ به انرژی جفت شدگی EPair وابسته است که شامل اثری مشابه آثار زوج-فرد در هسته است. ایدهی اصلی براین واقعیت است که جفت شدگیهای نوکلئونها باید قبل از آنکه هر یک از اجزا بطور جداگانهای برانگیخته شوند، محاسبه شود. ∆ نقش مهمی را به عنوان پارامتر قابل تنظیم برای بازتولید مشاهده پذیر ها بازی میکند و تعریف آن در مدلهای مختلف میتواند متفاوت باشد. EX انرژی برانگیختگی واقعی است و بیانی برای وابستگی به ترازهای جدا از هم میباشد.
با در نظرگرفتن تصویر اندازه حرکت زاویهای کل چگالی تراز گاز فرمی از رابطه زیر بدست میآید
************************************* *************************************   نکته مهم : هنگام انتقال متون از فایل ورد به داخل سایت بعضی از فرمول ها و اشکال درج نمی شود یا به هم ریخته می شود یا به صورت کد نمایش داده می شود ولی در سایت می توانید فایل اصلی را با فرمت ورد به صورت کاملا خوانا خریداری کنید: سایت مرجع پایان نامه ها (خرید و دانلود با امکان دانلود رایگان نمونه ها) : elmyar.net *************************************   *************************************     (3-19) ρU,J,π=122J+12πσ3exp-2J+122σ2π12exp2aUa14U54.
این مدل در نواحی انرژی برانگیختگی بالا دارای نقص میباشد و انطباق قابل قبولی را با دادههای آزمایشگاهی ندارد. با این وجود این مدل به عنوان اساس برای سایر مدلها در بررسی چگالی تراز هستهای محسوب میشود و سایر مدلها با اعمال برخی اصلاحات برمدل گاز فرمی ارائه میشوند[36].
3-3 مدل جابجایی گاز فرمی (BSFGM)مدل جابجایی گاز فرمی ( (BSFGMبا اعمال برخی اصلاحات در مدل گاز فرمی و با درنظرگرفتن جفت شدگیهای نوکلئونی در برهمکنشهای هستهای ارائه شده است. در این مدل برای چگالی تراز از همان رابطه (3-17) استفاده میشود با این تفاوت که در آن انرژی برانگیختگی مؤثر U به شکل زیر تعریف شده است
(3-20) U=EX-E1.
اختلاف مدل جابجایی گاز فرمی و مدل گاز فرمی در همین جمله جابجایی انرژی E1 میباشد که برای بدست آوردن نتایج بهتر جمله انرژی جفت شدگی نیز در آن لحاظ شده و در مراجع مختلف تعاریف متفاوتی برای آن ارائه شده است بطور مثال در مرجع [37,38] با رابطه زیر معرفی شده است
(3-21) E1=EPair+C1
که در آن C1 پارامتر جابجایی است و مقدار آن از رابطه C1=-6.6A-0.32 MeV بدست میآید و EPair انرژی جفت شدگی است که با رابطه زیر تعریف میشود
(3-22) Epair=χ112که مقدار χ برای هستههای زوج-زوج 1، برای هسته فرد-فرد -1 و برای هسته های زوج-فرد 0 میباشد.
برای تصحیحات لایهای مربوط به حالتهای پروتونی و نوترونی بر حسب Z و N شکلهای (3-3) و (3-4) آورده شدهاند.

شکل3- SEQ شکل_3- \* ARABIC 3 تصحیح لایهای نوترونی برحسب N، عدد نوترونی [28]
شکل 3- SEQ شکل_3- \* ARABIC 4 تصحیح لایهای پروتونی برحسب Z، عدد پروتونی [28]در این مدل a پارامتر چگالی تراز و E1 جابجایی انرژی برانگیختگی بصورت پارامترهای آزاد در نظر گرفته شدهاند که از طریق برازش برای هر هسته تعریف شدهاند، در جدول (3-1) تعدادی از این مقادیر برازش شده برای هستههای مختلف ارائه شده است.[39-41]
3-4 مدل جابجایی گاز فرمی با a وابسته به انرژی (BSFGM-ED)

Tagged: Tags پایان نامه پایان نامه دهان به دهان پایان نامه نظام اندازه گیری